7.9. Решите систему уровнений

Решаем систему уравнений:

Пошаговое решение:

1. Выразим y из второго уравнения: \( y = 6 - 2x \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + (6 - 2x) = 8 \).
3. Преобразуем уравнение: \( x^2 - 2x + 6 - 8 = 0 \), что упрощается до \( x^2 - 2x - 2 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 2x - 2 = 0 \).
5. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), и \( c = -2 \).
6. Подставим значения: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \).
7. Таким образом, у нас два значения для x: \( x_1 = 1 + \sqrt{3} \) и \( x_2 = 1 - \sqrt{3} \).
8. Теперь найдем соответствующие значения y:
9. Для \( x_1 = 1 + \sqrt{3} \): \( y_1 = 6 - 2(1 + \sqrt{3}) = 6 - 2 - 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} \).
10. Для \( x_2 = 1 - \sqrt{3} \): \( y_2 = 6 - 2(1 - \sqrt{3}) = 6 - 2 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3} \).

Ответ: \((1 + \sqrt{3}, 4 - 2\sqrt{3})\) и \((1 - \sqrt{3}, 4 + 2\sqrt{3})\)