706. Решите систему уравнений: в) {3x² - 2y = 1, 2x² - y² = 1;

в) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1, \\ 2x^2 - y^2 = 1. \end{cases}$$

Выразим y из первого уравнения: $$2y = 3x^2 - 1$$

$$y = \frac{3x^2 - 1}{2}$$

Подставим это выражение во второе уравнение: $$2x^2 - (\frac{3x^2 - 1}{2})^2 = 1$$

$$2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1$$

$$8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4$$

$$-9x^4 + 14x^2 - 5 = 0$$

$$9x^4 - 14x^2 + 5 = 0$$

Пусть $$z = x^2$$, тогда $$9z^2 - 14z + 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16$$

$$z_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$$

$$z_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$

Найдем значения x:

$$x_1 = \sqrt{z_1} = \sqrt{1} = 1$$

$$x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{1} = -1$$

$$x_3 = \sqrt{z_2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = \frac{3x_1^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot 1^2 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_2 = \frac{3x_2^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot (-1)^2 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_3 = \frac{3x_3^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$

$$y_4 = \frac{3x_4^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$(1; 1), (-1; 1), (\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}), (-\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3})$$