Решите систему уравнений: sin x - cos 2y = 1/2, 2 sin²x - 3 cos 2y = 2.

Решение:

Обозначим \( u = \sin x \) и \( v = \cos 2y \).

Получим систему уравнений:

• \( u - v = \frac{1}{2} \)
• \( 2u^2 - 3v = 2 \)

Из первого уравнения выразим \( v \): \( v = u - \frac{1}{2} \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

• \( 2u^2 - 3(u - \frac{1}{2}) = 2 \)
• \( 2u^2 - 3u + \frac{3}{2} = 2 \)
• \( 2u^2 - 3u + \frac{3}{2} - 2 = 0 \)
• \( 2u^2 - 3u - \frac{1}{2} = 0 \)
• \( 4u^2 - 6u - 1 = 0 \)

Найдём дискриминант:

• \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 36 + 16 = 52 \)

Найдём корни для \( u \):

• \( u_1 = \frac{6 + \sqrt{52}}{8} = \frac{6 + 2\sqrt{13}}{8} = \frac{3 + \sqrt{13}}{4} \)
• \( u_2 = \frac{6 - \sqrt{52}}{8} = \frac{6 - 2\sqrt{13}}{8} = \frac{3 - \sqrt{13}}{4} \)

Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), проверим значения \( u \).

\( \sqrt{13} \) примерно равно 3.6.

\( u_1 = \frac{3 + 3.6}{4} = \frac{6.6}{4} = 1.65 \). Это значение больше 1, поэтому \( \sin x = u_1 \) не имеет решений.

\( u_2 = \frac{3 - 3.6}{4} = \frac{-0.6}{4} = -0.15 \). Это значение находится в пределах [-1, 1].

Итак, \( \sin x = \frac{3 - \sqrt{13}}{4} \).

Теперь найдём \( v \) для \( u = \frac{3 - \sqrt{13}}{4} \):

• \( v = u - \frac{1}{2} = \frac{3 - \sqrt{13}}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} \)

Проверим, находится ли \( v \) в пределах [-1, 1].

\( v \approx \frac{1 - 3.6}{4} = \frac{-2.6}{4} = -0.65 \). Это значение находится в пределах [-1, 1].

\( \cos 2y = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} \).

Ответ: \( \sin x = \frac{3 - \sqrt{13}}{4} \), \( \cos 2y = \frac{1 - \sqrt{13}}{4} \).