Решите систему уравнений: \(\begin{cases} x+y=3 \\ x^2+y^2=29 \end{cases}\)

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Выразим y из первого уравнения:
   \( y = 3 - x \)
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
   \( x^2 + (3-x)^2 = 29 \)
3. Раскроем скобки и приведём подобные члены:
   \( x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29 \)
   \( 2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0 \)
   \( 2x^2 - 6x - 20 = 0 \)
4. Разделим обе части на 2:
   \( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)
6. Найдём корни:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
7. Найдем соответствующие значения y:
   Если \( x_1 = 5 \), то \( y_1 = 3 - x_1 = 3 - 5 = -2 \).
   Если \( x_2 = -2 \), то \( y_2 = 3 - x_2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \).

Ответ: (5; -2) и (-2; 5).