1 Решите неравенство: a) 6x2 - 11x - 2 < 0; 6) x² - 8x + 16 ≤ 0; в) 5x - x² ≤ 0.

Решим каждое из неравенств.

a) $$6x^2 - 11x - 2 < 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$6x^2 - 11x - 2 = 0$$:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$ $$x_2 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2$$

Решением неравенства $$6x^2 - 11x - 2 < 0$$ является интервал между корнями:

$$x \in \left(-\frac{1}{6}, 2\right)$$

б) $$x^2 - 8x + 16 ≤ 0$$

Заметим, что $$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$$, поэтому неравенство можно переписать как

$$(x - 4)^2 ≤ 0$$

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство выполняется только при

$$x - 4 = 0$$ $$x = 4$$

в) $$5x - x^2 ≤ 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(5 - x) ≤ 0$$

Найдем корни уравнения $$x(5 - x) = 0$$:

$$x_1 = 0$$ $$5 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 5$$

Решим неравенство методом интервалов. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+        -         +
<-----0--------5----->

Решением неравенства является объединение интервалов, где функция принимает отрицательные значения или равна нулю:

$$x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$$

Ответ: a) $$x \in \left(-\frac{1}{6}, 2\right)$$; б) $$x = 4$$; в) $$x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$$.