306. Решите неравенство: a) 2x² + 13x - 7 > 0; б) -9x² + 12x - 4 < 0; в) 6х2 - 13х + 5 ≤ 0; г) -2x² - 5x + 18 < 0; д) 3x² - 2x > 0; e) 8 - x² < 0.

Решим каждое неравенство отдельно:

a) $$2x^2 + 13x - 7 > 0$$

Находим корни квадратного уравнения $$2x^2 + 13x - 7 = 0$$:

$$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$$

$$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{4} = \frac{-13 + 15}{4} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{4} = \frac{-13 - 15}{4} = -7$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется вне корней.

$$x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$$

б) $$-9x^2 + 12x - 4 < 0$$

Находим корни квадратного уравнения $$-9x^2 + 12x - 4 = 0$$:

$$D = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) = 144 - 144 = 0$$

$$x = \frac{-12}{-18} = \frac{2}{3}$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола направлена вниз, и неравенство выполняется везде, кроме корня.

$$x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$

в) $$6x^2 - 13x + 5 \le 0$$

Находим корни квадратного уравнения $$6x^2 - 13x + 5 = 0$$:

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$$

$$x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{12} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

$$x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{12} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется между корнями.

$$x \in [0.5; \frac{5}{3}]$$

г) $$-2x^2 - 5x + 18 < 0$$

Находим корни квадратного уравнения $$-2x^2 - 5x + 18 = 0$$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 18 = 25 + 144 = 169$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{-4} = \frac{5 + 13}{-4} = -4.5$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{-4} = \frac{5 - 13}{-4} = 2$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола направлена вниз, и неравенство выполняется вне корней.

$$x \in (-\infty; -4.5) \cup (2; +\infty)$$

д) $$3x^2 - 2x > 0$$

Находим корни квадратного уравнения $$3x^2 - 2x = 0$$:

$$x(3x - 2) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = \frac{2}{3}$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство выполняется вне корней.

$$x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$

e) $$8 - x^2 < 0$$

Находим корни квадратного уравнения $$8 - x^2 = 0$$:

$$x^2 = 8$$

$$x_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

$$x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола направлена вниз, и неравенство выполняется вне корней.

$$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$

Ответ: a) $$x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$$, б) $$x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$, в) $$x \in [0.5; \frac{5}{3}]$$, г) $$x \in (-\infty; -4.5) \cup (2; +\infty)$$, д) $$x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$, e) $$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$