Решение неравенств

а) $$-x^2 + 16x > 28$$

Перенесем все в левую часть:

$$ -x^2 + 16x - 28 > 0 $$

Умножим на -1, чтобы избавиться от минуса перед $$x^2$$, и изменим знак неравенства:

$$ x^2 - 16x + 28 < 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$ x^2 - 16x + 28 = 0 $$

Используем дискриминант:

$$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{16 + \sqrt{144}}{2} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14 $$ $$ x_2 = \frac{16 - \sqrt{144}}{2} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

Таким образом, неравенство можно записать как:

$$ (x - 14)(x - 2) < 0 $$

Решением будет интервал между корнями:

$$\mathbf{x \in (2; 14)}$$

б) $$(3x-1)(x^2 - 9) \le 0$$

Разложим $$x^2 - 9$$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$$ (3x - 1)(x - 3)(x + 3) \le 0 $$

Найдем корни:

$$ 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} $$ $$ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 $$ $$ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 $$

Рассмотрим числовую прямую и расставим знаки на интервалах:

----(-3)+++++(1/3)----(3)+++++> X

Решением будут интервалы, где выражение меньше или равно нулю:

$$\mathbf{x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{1}{3}; 3]}$$

в) $$\frac{4x^2 + 4x + 1}{-3+x^2+2x} \ge 0$$

Запишем числитель и знаменатель в более удобном виде:

$$ \frac{(2x + 1)^2}{x^2 + 2x - 3} \ge 0 $$

Разложим знаменатель на множители:

$$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$

Используем дискриминант:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Таким образом, знаменатель можно записать как:

$$ (x - 1)(x + 3) $$

Неравенство принимает вид:

$$ \frac{(2x + 1)^2}{(x - 1)(x + 3)} \ge 0 $$

Заметим, что числитель всегда неотрицателен, так как это квадрат. Значит, все зависит от знака знаменателя. При этом, числитель равен нулю при $$x = -\frac{1}{2}$$, что тоже нужно учесть.

Рассмотрим числовую прямую для знаменателя:

----(-3)+++++(1)+++++> X

Решением будут интервалы, где знаменатель положителен:

$$ x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) $$

Также нужно добавить точку, где числитель равен нулю:

$$ x = -\frac{1}{2} $$

Окончательный ответ:

$$\mathbf{x \in (-\infty; -3) \cup \{-\frac{1}{2}\} \cup (1; +\infty)}$$