Решите неравенство x² / (x-4) ≤ x.

Решение:

Перенесём всё в одну часть:

\( \frac{x^2}{x-4} - x \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x^2 - x(x-4)}{x-4} \le 0 \)

\( \frac{x^2 - x^2 + 4x}{x-4} \le 0 \)

\( \frac{4x}{x-4} \le 0 \)

Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: \( x=0 \) и \( x=4 \).

Рассмотрим знаки на интервалах:

• \( (-\infty, 0] \): \( 4x ≤ 0 \), \( x-4 < 0 \), \( \frac{–}{–} = + \)
• \( [0, 4) \): \( 4x ≥ 0 \), \( x-4 < 0 \), \( \frac{+}{–} = - \)
• \( (4, ∞) \): \( 4x > 0 \), \( x-4 > 0 \), \( \frac{+}{+} = + \)

Нам нужен интервал, где выражение ≤ 0.

Ответ: \( [0, 4) \).