Решите неравенство (3x² - 18x + 27) / (x+7) ≤ 0.

Решение:

Сначала упростим числитель, вынеся общий множитель 3:

\( 3(x^2 - 6x + 9) \)

\( x^2 - 6x + 9 \) — это полный квадрат \( (x-3)^2 \).

Таким образом, неравенство примет вид:

\( \frac{3(x-3)^2}{x+7} \le 0 \)

Так как \( 3 > 0 \) и \( (x-3)^2 ≥ 0 \) для всех \( x \), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным, а числитель был равен нулю. При этом \( x \) не должен быть равен -7.

1. \( (x-3)^2 = 0 → x = 3 \). При \( x=3 \) неравенство выполняется: \( \frac{0}{10} = 0 \le 0 \).

2. \( x+7 < 0 → x < -7 \). В этом случае \( (x-3)^2 > 0 \) и \( x+7 < 0 \), поэтому \( \frac{+}{ –} < 0 \), что удовлетворяет неравенству.

Объединяя условия, получаем:

Ответ: \( (-∞, -7) ∪ {3\ \).