Решите неравенство (x-3)²<√5(x-3).

Решение:

Перенесём всё в левую часть неравенства:

\( (x-3)^2 - \sqrt{5}(x-3) < 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x-3) \) за скобки:

\( (x-3)( (x-3) - \sqrt{5} ) < 0 \)

\( (x-3)(x - 3 - \sqrt{5}) < 0 \)

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей, которое должно быть меньше нуля. Это возможно в двух случаях:

1. Первый множитель положительный, второй — отрицательный:
• \( x-3 > 0 \) => \( x > 3 \)
• \( x - 3 - \sqrt{5} < 0 \) => \( x < 3 + \sqrt{5} \)
• Объединяя эти условия, получаем \( 3 < x < 3 + \sqrt{5} \).
2. Первый множитель отрицательный, второй — положительный:
• \( x-3 < 0 \) => \( x < 3 \)
• \( x - 3 - \sqrt{5} > 0 \) => \( x > 3 + \sqrt{5} \)
• Эти условия противоречат друг другу, так как \( 3 + \sqrt{5} \) больше \( 3 \). Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, решением неравенства является интервал \( (3; 3 + \sqrt{5}) \).

Ответ: \( (3; 3 + \sqrt{5}) \).