Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них осталось пробежать 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.

Question

Вопрос:

Фото задания

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них осталось пробежать 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.

Accepted Answer

Решение:

Обозначим:

$$v_1$$ — скорость первого бегуна (км/ч);
$$v_2$$ — скорость второго бегуна (км/ч).

Из условия известно, что первый бегун отстал от второго на 1 минуту, а также что его скорость на 2 км/ч меньше скорости второго бегуна. Это означает:

$$v_2 = v_1 + 2$$ (1)
$$v_1 < v_2$$

Второй бегун пробежал первый круг на 1 минуту раньше первого. Это значит, что время, которое потратил второй бегун на круг, на 1 минуту меньше времени первого бегуна. Переведем минуты в часы:

$$t_1 = t_2 + \frac{1}{60}$$ (2)

Длина первого круга (обозначим $$S$$) может быть рассчитана по данным о первом бегуне:

За 20 минут ($\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа) первый бегун пробежал $$S - 400$$ метров.
$ v_1 = \frac{S - 0.4}{\frac{1}{3}} $
$ S - 0.4 = \frac{1}{3} v_1 $
$ S = \frac{1}{3} v_1 + 0.4 $ (3)

Теперь выразим время первого бегуна на круг $$t_1$$:

$ t_1 = \frac{S}{v_1} $
Подставим (3) в это уравнение: $ t_1 = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1} = \frac{1}{3} + \frac{0.4}{v_1} $ (4)

Время второго бегуна на круг $$t_2$$:

$ t_2 = \frac{S}{v_2} $
Подставим (3) и (1) в это уравнение: $ t_2 = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1 + 2} $ (5)

Теперь подставим (4) и (5) в уравнение (2):

$ \frac{1}{3} + \frac{0.4}{v_1} = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1 + 2} + \frac{1}{60} $

Упростим уравнение:

$ \frac{1}{3} - \frac{1}{60} + \frac{0.4}{v_1} = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1 + 2} $
$ \frac{20 - 1}{60} + \frac{0.4}{v_1} = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1 + 2} $
$ \frac{19}{60} + \frac{0.4}{v_1} = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1 + 2} $
Приведём к общему знаменателю в левой части: $ \frac{19 v_1 + 24}{60 v_1} = \frac{\frac{1}{3} v_1 + 0.4}{v_1 + 2} $
Перемножим крест-накрест: $ (19 v_1 + 24)(v_1 + 2) = 60 v_1 (\frac{1}{3} v_1 + 0.4) $
$ 19 v_1^2 + 38 v_1 + 24 v_1 + 48 = 20 v_1^2 + 24 v_1 $
$ 19 v_1^2 + 62 v_1 + 48 = 20 v_1^2 + 24 v_1 $
Перенесём всё в правую часть: $ 20 v_1^2 - 19 v_1^2 + 24 v_1 - 62 v_1 - 48 = 0 $
$ v_1^2 - 38 v_1 - 48 = 0 $

Решим квадратное уравнение для $$v_1$$. Используем дискриминант:

$ D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 1444 + 192 = 1636 $
$ \sqrt{1636} \approx 40.4475 $
$ v_1 = \frac{38 \pm \sqrt{1636}}{2} $

Рассчитаем оба корня:

$ v_{1,1} = \frac{38 + 40.4475}{2} = \frac{78.4475}{2} \approx 39.22 $
$ v_{1,2} = \frac{38 - 40.4475}{2} = \frac{-2.4475}{2} \approx -1.22 $

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_1 \approx 39.22$$ км/ч.

Проверим, является ли это решение корректным, найдя $$S$$ и $$t_1, t_2$$.

$ S = \frac{1}{3} v_1 + 0.4 \approx \frac{1}{3} \cdot 39.22 + 0.4 \approx 13.07 + 0.4 \approx 13.47 $ км.
$ t_1 = \frac{S}{v_1} \approx \frac{13.47}{39.22} \approx 0.3435 $ часа.
$ v_2 = v_1 + 2 \approx 39.22 + 2 = 41.22 $ км/ч.
$ t_2 = \frac{S}{v_2} \approx \frac{13.47}{41.22} \approx 0.3267 $ часа.
Разница во времени: $ t_1 - t_2 \approx 0.3435 - 0.3267 = 0.0168 $ часа.
$ 0.0168 \text{ часа} \times 60 \text{ мин/час} \approx 1.008 $ минуты.

Разница очень близка к 1 минуте. Небольшая погрешность вызвана округлением при расчете квадратного корня.

Ответ: скорость первого бегуна примерно 39.22 км/ч.