6. Решите неравенство 4*-13-2*-32>2. 2x-8

Преобразуем неравенство:

$$\frac{4^x - 13 \cdot 2^x - 32}{2^{x}-8} > 2$$

Пусть $$t = 2^x$$, тогда $$t^2 = (2^x)^2 = 4^x$$. Неравенство примет вид:

$$\frac{t^2 - 13t - 32}{t-8} > 2$$

$$\frac{t^2 - 13t - 32}{t-8} - 2 > 0$$

$$\frac{t^2 - 13t - 32 - 2(t-8)}{t-8} > 0$$

$$\frac{t^2 - 13t - 32 - 2t + 16}{t-8} > 0$$

$$\frac{t^2 - 15t - 16}{t-8} > 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена $$t^2 - 15t - 16 = 0$$:

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$$

$$t_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

$$t_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Разложим числитель на множители:

$$\frac{(t-16)(t+1)}{t-8} > 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Корни: t = 16, t = -1, t = 8

    +           -           +           -
----(-1)----(8)-----(16)-----> t

Решением неравенства является: $$t \in (-1; 8) \cup (16; +\infty)$$.

Вернемся к переменной $$x$$.

$$2^x > -1$$. Это неравенство выполняется при любых $$x$$, так как $$2^x$$ всегда положительно.

$$2^x < 8$$. $$2^x < 2^3$$, следовательно, $$x < 3$$

$$2^x > 16$$. $$2^x > 2^4$$, следовательно, $$x > 4$$

Итак, $$x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$$.

Ответ: $$\displaystyle x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$$.