Решение неравенств

а) $$x^2 - 9 > 0$$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$. В нашем случае, $$a = x$$ и $$b = 3$$. Получаем:

$$(x - 3)(x + 3) > 0$$

Найдем нули функции: $$x - 3 = 0$$ и $$x + 3 = 0$$. Следовательно, $$x = 3$$ и $$x = -3$$.

Определим знаки на интервалах: $$(-infty, -3), (-3, 3), (3, +infty)$$.

Выберем интервалы, где выражение больше нуля:

$$x < -3$$ или $$x > 3$$

Ответ: $$x in (-infty, -3) cup (3, +infty)$$

б) $$x^2 - 11x + 30 leq 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 11x + 30 = 0$$.

Используем теорему Виета: $$x_1 + x_2 = 11$$ и $$x_1 cdot x_2 = 30$$. Корни: $$x_1 = 5$$ и $$x_2 = 6$$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $$(x - 5)(x - 6) leq 0$$

Определим знаки на интервалах: $$(-infty, 5), (5, 6), (6, +infty)$$.

Выберем интервал, где выражение меньше или равно нулю:

$$5 leq x leq 6$$

Ответ: $$x in [5, 6]$$

в) $$-2x^2 + 5x - 2 < 0$$

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $$x^2$$ был положительным. Не забудем изменить знак неравенства:

$$2x^2 - 5x + 2 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 5x + 2 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 cdot 2 cdot 2 = 25 - 16 = 9$$.

Корни: $$x_1 = rac{5 - sqrt{9}}{2 cdot 2} = rac{5 - 3}{4} = rac{2}{4} = rac{1}{2}$$ и $$x_2 = rac{5 + sqrt{9}}{2 cdot 2} = rac{5 + 3}{4} = rac{8}{4} = 2$$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $$2(x - rac{1}{2})(x - 2) > 0$$

Определим знаки на интервалах: $$(-infty, rac{1}{2}), (rac{1}{2}, 2), (2, +infty)$$.

Выберем интервалы, где выражение больше нуля:

$$x < rac{1}{2}$$ или $$x > 2$$

Ответ: $$x in (-infty, rac{1}{2}) cup (2, +infty)$$