Решение системы уравнений методом сложения

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} ax + by = 2(a+b) \\ 2ax - 3by = 3(a-b) \end{cases}$$

Наша цель - найти значения переменных x и y.

Шаг 1: Умножим первое уравнение на -2

Для того чтобы избавиться от переменной x, умножим первое уравнение на -2:

$$-2(ax + by) = -2 \cdot 2(a+b)$$ $$-2ax - 2by = -4(a+b)$$

Теперь наша система выглядит так:

$$\begin{cases} -2ax - 2by = -4(a+b) \\ 2ax - 3by = 3(a-b) \end{cases}$$

Шаг 2: Сложим уравнения

Сложим первое и второе уравнения системы:

$$(-2ax - 2by) + (2ax - 3by) = -4(a+b) + 3(a-b)$$ $$-2ax - 2by + 2ax - 3by = -4a - 4b + 3a - 3b$$ $$-5by = -a - 7b$$

Шаг 3: Найдем y

Выразим y из полученного уравнения:

$$y = \frac{-a - 7b}{-5b}$$ $$y = \frac{a + 7b}{5b}$$

Шаг 4: Подставим y в первое уравнение

Подставим найденное значение y в первое уравнение исходной системы:

$$ax + b \cdot \frac{a + 7b}{5b} = 2(a+b)$$ $$ax + \frac{a + 7b}{5} = 2(a+b)$$

Шаг 5: Найдем x

Выразим x из полученного уравнения:

$$ax = 2(a+b) - \frac{a + 7b}{5}$$ $$ax = \frac{10(a+b) - (a + 7b)}{5}$$ $$ax = \frac{10a + 10b - a - 7b}{5}$$ $$ax = \frac{9a + 3b}{5}$$ $$x = \frac{9a + 3b}{5a}$$

Ответ:

Значения переменных x и y:

$$x = \frac{9a + 3b}{5a}$$ $$y = \frac{a + 7b}{5b}$$

Ответ:

$$x = \frac{9a + 3b}{5a}, \quad y = \frac{a + 7b}{5b}$$