Решение логарифмических уравнений:

а) $$log_2(2x-4) = log_2(x^2-3x+2);$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием, то можно приравнять аргументы:

$$2x-4 = x^2-3x+2;$$

$$x^2-5x+6 = 0;$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = 25 - 24 = 1;$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2;$$

Проверим корни:

При $$x=3$$:

$$log_2(2 \cdot 3 - 4) = log_2(6-4) = log_2(2) = 1;$$

$$log_2(3^2 - 3 \cdot 3 + 2) = log_2(9-9+2) = log_2(2) = 1;$$

При $$x=2$$:

$$log_2(2 \cdot 2 - 4) = log_2(4-4) = log_2(0)$$ - не существует, значит $$x=2$$ не является решением.

Ответ: $$x = 3.$$

---

б) $$log_2(3x-1)-1 = log_2(x+3)-log_2(x+1);$$

$$log_2(3x-1) - log_2(2) = log_2(\frac{x+3}{x+1});$$

$$log_2(\frac{3x-1}{2}) = log_2(\frac{x+3}{x+1});$$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$$\frac{3x-1}{2} = \frac{x+3}{x+1};$$

$$(3x-1)(x+1) = 2(x+3);$$

$$3x^2+3x-x-1 = 2x+6;$$

$$3x^2+2x-1 = 2x+6;$$

$$3x^2 - 7 = 0;$$

$$x^2 = \frac{7}{3};$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}};$$

Проверим корни:

$$x = \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1.528$$

$$3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3};$$

$$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3;$$

$$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1;$$

$$x = -\sqrt{\frac{7}{3}} \approx -1.528$$ - посторонний корень.

Ответ: $$x = \sqrt{\frac{7}{3}}.$$

---

в) $$\frac{log_4(2x^2+x)}{log_5(2-2x)} = 0;$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$log_4(2x^2+x) = 0;$$

$$2x^2+x = 4^0 = 1;$$

$$2x^2+x-1 = 0;$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9;$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1;$$

Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю:

$$log_5(2-2x)
eq 0;$$

$$2-2x
eq 1;$$

$$2x
eq 1;$$

$$x
eq \frac{1}{2};$$

Также нужно учесть, что аргументы логарифмов должны быть больше нуля:

$$2x^2 + x > 0;$$

$$x(2x+1) > 0;$$

$$x < -\frac{1}{2}$$ или $$x > 0;$$

$$2 - 2x > 0;$$

$$2x < 2;$$

$$x < 1;$$

Таким образом, решением является только $$x = -1$$.

Ответ: $$x = -1.$$

---

г) $$log_{-2x}(2x^2-x-1) = 1;$$

По определению логарифма:

$$2x^2-x-1 = (-2x)^1;$$

$$2x^2-x-1 = -2x;$$

$$2x^2+x-1 = 0;$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8 = 9;$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1;$$

Проверим, чтобы основание логарифма было больше нуля и не равнялось единице:

$$-2x > 0 \Rightarrow x < 0;$$

$$-2x
eq 1 \Rightarrow x
eq -\frac{1}{2};$$

Проверим, чтобы аргумент логарифма был больше нуля:

$$2x^2 - x - 1 > 0;$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8 = 9;$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1;$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2};$$

$$2x^2 - x - 1 = 2(x-1)(x+\frac{1}{2}) > 0;$$

$$x < -\frac{1}{2}$$ или $$x > 1;$$

Таким образом, $$x = -1$$ удовлетворяет условиям.

Ответ: $$x = -1.$$