Решите дифференциальное уравнение $$x^2y' - 2xy = 3$$. Известно, что $$y(1) = -1$$. Найдите $$y(0.5)$$.

Решим данное дифференциальное уравнение. 1. Преобразуем уравнение: Разделим обе части уравнения на $$x^2$$: $$y' - \frac{2}{x}y = \frac{3}{x^2}$$ Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. 2. Решаем линейное уравнение: Будем искать решение в виде $$y = u(x)v(x)$$. Тогда $$y' = u'v + uv'$$. Подставим это в уравнение: $$u'v + uv' - \frac{2}{x}uv = \frac{3}{x^2}$$ $$u'v + u(v' - \frac{2}{x}v) = \frac{3}{x^2}$$ Выберем функцию $$v(x)$$ так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: $$v' - \frac{2}{x}v = 0$$ $$\frac{dv}{v} = \frac{2}{x}dx$$ Интегрируем обе части: $$\int \frac{dv}{v} = \int \frac{2}{x}dx$$ $$\ln|v| = 2\ln|x|$$ $$v(x) = x^2$$ 3. Находим u(x): Теперь подставим $$v(x) = x^2$$ в исходное уравнение: $$u'x^2 = \frac{3}{x^2}$$ $$u' = \frac{3}{x^4}$$ Интегрируем обе части: $$u(x) = \int \frac{3}{x^4}dx = 3\int x^{-4}dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{x^3} + C$$ 4. Записываем общее решение: $$y(x) = u(x)v(x) = (-\frac{1}{x^3} + C)x^2 = -\frac{1}{x} + Cx^2$$ 5. Находим частное решение, используя начальное условие y(1) = -1: $$y(1) = -1 = -\frac{1}{1} + C(1)^2$$ $$-1 = -1 + C$$ $$C = 0$$ Таким образом, частное решение: $$y(x) = -\frac{1}{x}$$ 6. Вычисляем y(0.5): $$y(0.5) = -\frac{1}{0.5} = -2$$ Ответ: -2