4 Решить уравнение: 1) log₅ (3x + 1) = 2; 2) log₃ (x + 2) + log₃ x = 1; 3) ln (x² – 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3).

1) $$log_5 (3x + 1) = 2$$

$$3x + 1 = 5^2$$

$$3x + 1 = 25$$

$$3x = 24$$

$$x = 8$$

Проверка: $$log_5 (3 \cdot 8 + 1) = log_5 25 = log_5 5^2 = 2$$

2) $$log_3 (x + 2) + log_3 x = 1$$

$$log_3 ((x + 2)x) = 1$$

$$x^2 + 2x = 3^1$$

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

Проверка: $$x = 1$$; $$log_3 (1+2) + log_3 1 = log_3 3 + 0 = 1$$.

$$x = -3$$ не подходит, т.к. $$log_3 (-3)$$ не существует.

3) $$ln (x^2 - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3)$$

$$ln ((x-3)^2) = ln (3(x+3))$$

$$(x-3)^2 = 3(x+3)$$

$$x^2 - 6x + 9 = 3x + 9$$

$$x^2 - 9x = 0$$

$$x(x-9) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 9$$

Проверка: $$x = 0$$; $$ln (0^2 - 6 \cdot 0 + 9) = ln 9$$, $$ln 3 + ln (0 + 3) = ln 3 + ln 3 = ln (3 \cdot 3) = ln 9$$. Подходит.

$$x = 9$$; $$ln (9^2 - 6 \cdot 9 + 9) = ln (81 - 54 + 9) = ln 36$$, $$ln 3 + ln (9 + 3) = ln 3 + ln 12 = ln (3 \cdot 12) = ln 36$$. Подходит.

Ответ: 1) x = 8; 2) x = 1; 3) x = 0, x = 9