7. Решить неравенство $$x^2 + 3x - 4 < 0$$.

Решим неравенство $$x^2 + 3x - 4 < 0$$. Сначала найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 3x - 4 = 0$$. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$. Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Теперь определим знак неравенства на интервалах $$(-\infty, -4)$$, $$(-4, 1)$$ и $$(1, +\infty)$$. На интервале $$(-\infty, -4)$$ возьмем $$x = -5$$. Тогда $$x^2 + 3x - 4 = (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0$$. На интервале $$(-4, 1)$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$x^2 + 3x - 4 = 0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0$$. На интервале $$(1, +\infty)$$ возьмем $$x = 2$$. Тогда $$x^2 + 3x - 4 = 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$$. Неравенство $$x^2 + 3x - 4 < 0$$ выполняется на интервале $$(-4, 1)$$. Ответ: $$x \in (-4, 1)$$