Реши задачу. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высота BD = 5 см, AB:AC = 13:24. Найди радиус вписанной в треугольник окружности.

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный, AC — основание.
• BD — высота, BD = 5 см.
• AB : AC = 13 : 24.

Найти: Радиус вписанной окружности (r).

Решение:

1. Найдем стороны треугольника:

   Пусть AB = 13x, тогда AC = 24x.

   Так как треугольник равнобедренный, высота BD делит основание AC пополам:

   \[ AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{24x}{2} = 12x \]

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

   \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \]

   \[ (13x)^2 = (12x)^2 + 5^2 \]

   \[ 169x^2 = 144x^2 + 25 \]

   \[ 169x^2 - 144x^2 = 25 \]

   \[ 25x^2 = 25 \]

   \[ x^2 = 1 \]

   \[ x = 1 \]

   Следовательно:

   • AB = BC = 13x = 13 * 1 = 13 см.
   • AC = 24x = 24 * 1 = 24 см.
   • BD = 5 см.
2. Найдем площадь треугольника (S):

   \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times AC \times BD \]

   \[ S = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \text{ см}^2 \]

3. Найдем полупериметр треугольника (p):

   \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ см} \]

4. Найдем радиус вписанной окружности (r):

   Формула для радиуса вписанной окружности:

   \[ r = \frac{S}{p} \]

   \[ r = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ см} \]

Ответ: 2.4 см