Решение задач по тригонометрии

1. Найти значение функции:

а) $$y = cos(x + \frac{\pi}{6})$$, если $$x = \frac{\pi}{3}$$

Решение:

$$y = cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{3\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$$

б) $$y = cos(x + \frac{\pi}{3})$$, если $$x = \frac{\pi}{6}$$

Решение:

$$y = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}) = cos(\frac{3\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$$

Ответ: В обоих случаях y = 0.

2. Выяснить, принадлежит ли графику функции $$y = cos(x)$$ точка с координатами:

а) $$(\frac{7\pi}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$$

Решение:

$$cos(\frac{7\pi}{6}) = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Точка принадлежит графику.

б) $$(\frac{14\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$

Решение:

$$cos(\frac{14\pi}{6}) = cos(\frac{7\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
eq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Точка не принадлежит графику.

Ответ: а) принадлежит, б) не принадлежит.

3. Сравнить числа:

а) $$cos(-\frac{5\pi}{8})$$ и $$cos(-\frac{3\pi}{7})$$

Решение:

Так как $$cos(-x) = cos(x)$$, сравним $$cos(\frac{5\pi}{8})$$ и $$cos(\frac{3\pi}{7})$$

$$cos(\frac{5\pi}{8}) < 0$$, а $$cos(\frac{3\pi}{7}) > 0$$, следовательно, $$cos(-\frac{5\pi}{8}) < cos(-\frac{3\pi}{7})$$

б) $$cos(\frac{3\pi}{4})$$ и $$cos(\frac{3\pi}{8})$$

Решение:

$$cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$$, а $$cos(\frac{3\pi}{8}) > 0$$, следовательно, $$cos(\frac{3\pi}{4}) < cos(\frac{3\pi}{8})$$

в) $$cos(\frac{\pi}{5})$$ и $$cos(\frac{5\pi}{4})$$

Решение:

$$cos(\frac{\pi}{5}) > 0$$, а $$cos(\frac{5\pi}{4}) < 0$$, следовательно, $$cos(\frac{\pi}{5}) > cos(\frac{5\pi}{4})$$

Ответ: а) $$cos(-\frac{5\pi}{8}) < cos(-\frac{3\pi}{7})$$; б) $$cos(\frac{3\pi}{4}) < cos(\frac{3\pi}{8})$$; в) $$cos(\frac{\pi}{5}) > cos(\frac{5\pi}{4})$$

4. С помощью графика функции $$y = cos(x)$$ найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку:

а) $$cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$$

Решение:

$$x = -\frac{5\pi}{6}$$

б) $$cos(x) = \frac{1}{2}$$, $$\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$$

Решение:

$$x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3}$$. Но $$x = \frac{5\pi}{3}$$ не принадлежит данному промежутку. $$x = \frac{\pi}{3}$$

в) $$cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$$

Решение:

$$x = -\frac{\pi}{4}$$

Ответ: а) $$x = -\frac{5\pi}{6}$$; б) $$x = \frac{\pi}{3}$$; в) $$x = -\frac{\pi}{4}$$

5. С помощью графика функции $$y = cos(x)$$ найти решения неравенства, принадлежащие данному промежутку:

а) $$cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$$

Решение:

$$x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}; 2\pi]$$

б) $$cos(x) \le -1$$, $$\left[-2\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$$

Решение:

$$x = -2\pi, x = -\pi$$

в) $$cos(x) \ge 1$$, $$\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$$

Решение:

$$x = -\pi, x = 0, x=2\pi$$