7

Question

Вопрос:

7

Фото задания

Ответ:

📄 Все ответы 📸 Решить моё задание

Accepted Answer

Решение:

В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM.

Так как BC = BM, треугольник BCM — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $ \angle BCM = \angle BMC $.

Угол BMC является внешним углом треугольника ABM. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

$ \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM $

Угол BCM (или C) является углом треугольника ABC. Пусть $ \angle C = \gamma $.

Тогда $ \angle BMC = \gamma $.

У нас есть $ \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM $. Значит, $ \gamma = \angle BAM + \angle ABM $.

Также, так как BH — высота, $ \angle BHC = 90^{\circ} $.

В прямоугольном треугольнике BHC: $ \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - \gamma $.

M — середина AC, значит $ AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов $ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} $.

$ \angle A + \angle ABM + \angle HBC + \gamma = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM + (90^{\circ} - \gamma) + \gamma = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM + 90^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM = 90^{\circ} $.

У нас есть $ \angle BMC = \angle C = \gamma $.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник BCM. Углы при основании равны $ \angle C = \angle BMC $. Это возможно только если $ \angle C = 90^{\circ} $, но тогда $ \angle BMC = 90^{\circ} $, что невозможно, так как $ \angle BMC $ — внешний угол треугольника ABM, и $ \angle C $ — угол треугольника ABC. Значит, $ \angle C $ не может быть 90°.

Вернемся к $ BC = BM $. Это означает, что точка M лежит на окружности с центром B и радиусом BC. Также эта точка M является серединой AC.

Если $ BC = BM $, то треугольник BCM — равнобедренный, и $ \angle BCM = \angle BMC $.

В треугольнике ABC: $ \angle C $ — угол при вершине C. $ \angle BMC $ — внешний угол при вершине M для треугольника ABM. Значит, $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Из условия $ \angle BCM = \angle BMC $, получаем $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Также, $ \angle C = \angle BCM $.

В треугольнике ABC: $ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} $.

$ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC $.

$ \angle MBC = 180^{\circ} - \angle BMC - \angle BCM = 180^{\circ} - 2 \angle C $.

$ \angle A + \angle ABM + (180^{\circ} - 2 \angle C) + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM - \angle C = 0 $ $\rightarrow$ $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Это то же самое, что мы получили ранее.

Теперь используем, что BH — высота, $ \angle BHC = 90^{\circ} $.

В треугольнике BHC: $ \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C $.

M — середина AC, AC = 2, значит AM = MC = 1.

В прямоугольном треугольнике BHC, BH = BC * sin(C).

В прямоугольном треугольнике AHB, AH = AB * cos(A).

Рассмотрим треугольник BCM. Он равнобедренный с BC = BM. $ \angle C = \angle BMC $.

Но $ \angle BMC $ — внешний для $ \triangle ABM $, значит $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Следовательно, $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Из $ \triangle ABC $: $ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} $.

$ \angle A + (\angle ABM + \angle MBC) + \angle C = 180^{\circ} $.

$ \angle MBC = 180^{\circ} - \angle BMC - \angle BCM = 180^{\circ} - 2 \angle C $.

$ \angle A + \angle ABM + 180^{\circ} - 2 \angle C + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM - \angle C = 0 $ $$\rightarrow$$ $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Это равенство говорит нам, что $ \angle ABM = 0 $, что невозможно, либо $ \angle C $ не равно $ \angle BMC $.

Если $ BC = BM $, то точка M лежит на окружности с центром B и радиусом BC.

В прямоугольном треугольнике BHC, H лежит на AC. $ \angle BHC = 90^{\circ} $.

Так как $ BC = BM $, треугольник BCM равнобедренный. $ \angle BCM = \angle BMC $.

Угол $ C $ — это $ \angle BCM $.

$ \angle BMC $ — внешний для $ \triangle ABM $.

$ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Значит $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Рассмотрим $ \triangle BHC $. $ BH = BC \sin(C) $.

В $ \triangle ABC $: $ AC = 2 $, $ MC = 1 $.

По теореме Пифагора в $ \triangle BHC $: $ BH^2 + HC^2 = BC^2 $.

$ BH = BM \sin(C) $.

$ HC = MC - MH = 1 - MH $ или $ HC = MH - MC = MH - 1 $.

Из $ \triangle ABH $: $ AH^2 + BH^2 = AB^2 $.

$ AH = AM + MH = 1 + MH $ или $ AH = MH - AM = MH - 1 $.

Так как $ BC = BM $, то $ \triangle BCM $ равнобедренный. $ \angle BCM = \angle BMC $.

$ \angle BMC $ — внешний угол $ \triangle ABM $, значит $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Поэтому $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Из $ \triangle ABC $: $ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} $.

$ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC $.

$ \angle MBC = 180^{\circ} - \angle BMC - \angle BCM = 180^{\circ} - 2\angle C $.

$ \angle A + \angle ABM + 180^{\circ} - 2\angle C + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM = \angle C $.

Это условие $ \angle C = \angle A + \angle ABM $ вместе с $ \angle A + \angle ABM = 90^{\circ} $ (из $ \triangle ABH $ и $ \angle A + \angle ABM = 90^{\circ} $ следует из $ \angle A + \angle ABC = 90^{\circ} $ если $ \angle C = 90^{\circ} $, что неверно).

Если $ BC = BM $, то $ \triangle BCM $ равнобедренный. $ \angle C = \angle BMC $.

$ \angle BMC $ — внешний угол $ \triangle ABM $. $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Следовательно, $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

В $ \triangle BHC $, $ \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C $.

В $ \triangle ABH $, $ \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A $.

$ \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC = 90^{\circ} - \angle A + 90^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = \angle B $.

$ \angle ABM = \angle ABC - \angle MBC $.

Так как $ BC = BM $, то $ \triangle BCM $ равнобедренный. $ \angle BCM = \angle BMC = \angle C $.

$ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Рассмотрим $ \triangle ABH $. $ AH = AB \cos A $, $ BH = AB \sin A $.

Рассмотрим $ \triangle BHC $. $ HC = BC \cos C $, $ BH = BC \sin C $.

$ AB \sin A = BC \sin C $. Это закон синусов для $ \triangle ABC $ ( $ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} $ ).

M — середина AC, AM = MC = 1.

По условию $ BC = BM $. $ \triangle BCM $ равнобедренный. $ \angle C = \angle BMC $.

$ \angle BMC $ — внешний угол $ \triangle ABM $. $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Значит, $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

В $ \triangle ABH $, $ AH = AB \cos A $.

В $ \triangle BHC $, $ HC = BC \cos C $.

$ AC = AH + HC = AB \cos A + BC \cos C = 2 $.

$ AH = AM + MH = 1 + MH $ (если H между M и C) или $ AH = MH - AM = MH - 1 $ (если M между A и H).

$ HC = MC - MH = 1 - MH $ (если H между M и C) или $ HC = MH - MC = MH - 1 $ (если M между H и C).

Если H лежит между A и C, то $ AC = AH + HC = 2 $.

Так как $ BC = BM $, то $ \triangle BCM $ равнобедренный, $ \angle BCM = \angle BMC = \angle C $.

$ \angle BMC $ — внешний угол $ \triangle ABM $, поэтому $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Значит, $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Рассмотрим $ \triangle ABH $. $ \angle BAH = \angle A $, $ \angle BHA = 90^{\circ} $. $ AH = AB \cos A $.

Рассмотрим $ \triangle BHC $. $ \angle BCH = \angle C $, $ \angle BHC = 90^{\circ} $. $ HC = BC \cos C $.

$ AC = AH + HC = AB \cos A + BC \cos C = 2 $.

Также $ BH = AB \sin A = BC \sin C $.

Из $ BC = BM $ следует, что $ \triangle BCM $ равнобедренный, $ \angle BCM = \angle BMC = \angle C $.

$ \angle BMC $ — внешний угол $ \triangle ABM $, следовательно $ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $.

Получаем $ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

В $ \triangle BHC $ $ HC = BC \cos C $.

В $ \triangle ABH $ $ AH = AB \cos A $.

$ AC = AH + HC = 2 $.

$ AB \sin A = BC \sin C $.

Из $ \angle C = \angle A + \angle ABM $, имеем $ \angle ABM = \angle C - \angle A $.

$ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC $.

$ \angle MBC = 180^{\circ} - \angle BMC - \angle BCM = 180^{\circ} - 2 \angle C $.

$ \angle ABC = \angle C - \angle A + 180^{\circ} - 2 \angle C = 180^{\circ} - \angle C - \angle A $.

$ \angle A + \angle ABC + \angle C = \angle A + 180^{\circ} - \angle C - \angle A + \angle C = 180^{\circ} $. Это тождество, не даёт новой информации.

Вернемся к $ BC = BM $. Точка M — середина AC. AC = 2, значит AM = MC = 1.

Рассмотрим $ \triangle BHC $. $ BH^2 + HC^2 = BC^2 $.

Рассмотрим $ \triangle ABH $. $ AH^2 + BH^2 = AB^2 $.

$ BH = BC \sin C $, $ HC = BC \cos C $.

$ AB \sin A = BC \sin C $.

$ \angle C = \angle A + \angle ABM $.

Если $ \angle C = 60^{\circ} $ и $ \angle A = 30^{\circ} $, то $ \angle ABM = 30^{\circ} $.

$ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 30^{\circ} + (180^{\circ} - 2 \times 60^{\circ}) = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} $.

$ \angle A + \angle ABC + \angle C = 30^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} $. Это возможно.

В этом случае $ AC = AB \cos 30^{\circ} + BC \cos 60^{\circ} = 2 $.

$ AB \frac{\sqrt{3}}{2} + BC \frac{1}{2} = 2 $.

Из $ AB \sin 30^{\circ} = BC \sin 60^{\circ} $, $ AB \frac{1}{2} = BC \frac{\sqrt{3}}{2} $ $\rightarrow$ $ AB = BC \sqrt{3} $.

Подставляем в уравнение для AC:

$ (BC \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + BC \frac{1}{2} = 2 $

$ BC \frac{3}{2} + BC \frac{1}{2} = 2 $

$ BC \frac{4}{2} = 2 $

$ 2 BC = 2 $ $\rightarrow$ $ BC = 1 $.

Если $ BC = 1 $, то $ BM = 1 $.

$ AB = BC \sqrt{3} = 1 \sqrt{3} = \sqrt{3} $.

Проверим $ AC = AB \cos A + BC \cos C = \sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 1 \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $. Это совпадает.

Итак, $ BC = 1 $, $ BM = 1 $, $ MC = 1 $. $ \triangle BCM $ равносторонний! $ \angle BCM = \angle BMC = \angle MBC = 60^{\circ} $.

Если $ \angle C = 60^{\circ} $, то $ \angle BMC = 60^{\circ} $.

$ \angle BMC = \angle A + \angle ABM $ $\rightarrow$ $ 60^{\circ} = \angle A + \angle ABM $.

$ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = \angle ABM + 60^{\circ} $.

$ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle A + \angle ABM = 60^{\circ} $. Это подтверждает $ \angle C = 60^{\circ} $.

Так как $ \triangle BCM $ равносторонний, $ BH $ — высота. $ H $ — середина MC. $ HC = \frac{MC}{2} = \frac{1}{2} $.

Нам нужно найти AH. $ AC = 2 $.

$ AH = AC - HC = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $.

Ответ: AH = 3/2.

7

Ответ:

Решение:

Похожие