591. Разность квадратов корней квадратного уравнения х²+2x+q=0 равна 12. Найдите q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения $$x^2 + 2x + q = 0$$. По теореме Виета:

• $$x_1 + x_2 = -2$$
• $$x_1 \cdot x_2 = q$$

По условию $$x_1^2 - x_2^2 = 12$$. Разложим разность квадратов:

$$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$$

Подставим $$x_1 + x_2 = -2$$:

$$(x_1 - x_2)(-2) = 12$$

$$x_1 - x_2 = -6$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 - x_2 = -6 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x_1 = -8$$

$$x_1 = -4$$

Тогда $$x_2 = -2 - x_1 = -2 - (-4) = 2$$.

$$q = x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 2 = -8$$

Ответ: -8