348. Разложите на множители многочлен: a) $$a^{12}-a^{6}+a^{3}-1$$; б) $$b^{6}+b^{4} c^{2}-b^{2}-c^{2}$$.

а) Разложим многочлен $$a^{12}-a^{6}+a^{3}-1$$ на множители.

Сгруппируем члены: $$(a^{12}-a^{6})+(a^{3}-1)$$.

Вынесем общий множитель в каждой группе: $$a^{6}(a^{6}-1)+(a^{3}-1)$$.

Заметим, что $$a^{6}-1$$ можно разложить как разность квадратов: $$a^{6}-1 = (a^{3}-1)(a^{3}+1)$$.

Тогда выражение примет вид: $$a^{6}(a^{3}-1)(a^{3}+1)+(a^{3}-1)$$.

Теперь вынесем общий множитель $$(a^{3}-1)$$: $$(a^{3}-1)(a^{6}(a^{3}+1)+1) = (a^{3}-1)(a^{9}+a^{6}+1)$$.

$$a^{3}-1$$ можно разложить как разность кубов: $$(a-1)(a^{2}+a+1)(a^{9}+a^{6}+1)$$.

б) Разложим многочлен $$b^{6}+b^{4} c^{2}-b^{2}-c^{2}$$ на множители.

Сгруппируем члены: $$(b^{6}+b^{4} c^{2})-(b^{2}+c^{2})$$.

Вынесем общий множитель в каждой группе: $$b^{4}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}+c^{2})$$.

Теперь вынесем общий множитель $$(b^{2}+c^{2})$$: $$(b^{2}+c^{2})(b^{4}-1)$$.

$$b^{4}-1$$ можно разложить как разность квадратов: $$(b^{2}+c^{2})(b^{2}-1)(b^{2}+1)$$.

$$b^{2}-1$$ можно разложить как разность квадратов: $$(b^{2}+c^{2})(b-1)(b+1)(b^{2}+1)$$.

Ответ:

• а) $$(a-1)(a^{2}+a+1)(a^{9}+a^{6}+1)$$
• б) $$(b^{2}+c^{2})(b-1)(b+1)(b^{2}+1)$$