14. Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возврати- лась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть x км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.

Тогда (x + 5) км/ч - скорость лодки по течению.

(x - 5) км/ч - скорость лодки против течения.

Так как плот проплыл 15 км, то время его в пути равно: $$t_{плота} = \frac{15}{5} = 3$$ часа.

Лодка была в пути на 1 час меньше, то есть 2 часа.

Лодка прошла путь из пункта A в пункт B, равный 24 км, со скоростью (x + 5) км/ч, и путь из пункта B в пункт A, равный 24 км, со скоростью (x - 5) км/ч.

Составим уравнение:

$$\frac{24}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+5)(x-5)$$:

$$24(x-5) + 24(x+5) = 2(x^2 - 25)$$ $$24x - 120 + 24x + 120 = 2x^2 - 50$$

$$48x = 2x^2 - 50$$

$$2x^2 - 48x - 50 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x^2 - 24x - 25 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 = 26^2$$

$$x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

$$x_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 25$$ км/ч.

Ответ: 25