6) Расстояние между причалами 390 км. По течению реки пароход проходит это расстояние за 13 часов, а против течения за 15 часов. Найдите собственную скорость парохода и скорость течения реки. За какое время расстояние между причалами проплывут плоты?

Решим задачу по шагам:

1. Пусть (v_п) - собственная скорость парохода, а (v_т) - скорость течения реки.
2. Когда пароход плывет по течению, его скорость равна (v_п + v_т). Расстояние 390 км он проходит за 13 часов. Значит, $$v_п + v_т = \frac{390}{13} = 30$$ км/ч.
3. Когда пароход плывет против течения, его скорость равна (v_п - v_т). Расстояние 390 км он проходит за 15 часов. Значит, $$v_п - v_т = \frac{390}{15} = 26$$ км/ч.
4. Теперь у нас есть система уравнений: $$ \begin{cases} v_п + v_т = 30 \\ v_п - v_т = 26 \end{cases} $$
5. Сложим эти два уравнения: $$(v_п + v_т) + (v_п - v_т) = 30 + 26$$ $$2v_п = 56$$ $$v_п = 28$$ км/ч.
6. Подставим найденное значение (v_п) в первое уравнение: $$28 + v_т = 30$$ $$v_т = 2$$ км/ч.
7. Теперь найдем время, за которое плоты проплывут расстояние между причалами. Плот плывет со скоростью течения реки, то есть 2 км/ч. Время равно расстоянию, деленному на скорость: $$t = \frac{390}{2} = 195$$ часов.

Ответ: Собственная скорость парохода 28 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч, плоты проплывут расстояние между причалами за 195 часов.