Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 2 см. Найдите периметр треугольника и радиус описанной окружности.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают.

Радиус вписанной окружности \( r = 2 \) см.

Радиус описанной окружности \( R \) в равностороннем треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной окружности:

\( R = 2r = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \) см.

Высота равностороннего треугольника \( h = R + r = 4 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6 \) см.

Высота равностороннего треугольника также вычисляется по формуле \( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона треугольника.

\( 6 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \)

\( a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \) см.

Периметр равностороннего треугольника \( P = 3a \):

\( P = 3 \cdot 4 \sqrt{3} \text{ см} = 12 \sqrt{3} \) см.

Ответ: Периметр треугольника равен \( 12 \sqrt{3} \) см, радиус описанной окружности равен 4 см.