Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть \( d_1 = 30 \) см и \( d_2 = 40 \) см — диагонали ромба.

Половины диагоналей равны \( \frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см и \( \frac{d_2}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см.

Сторона ромба \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).

По теореме Пифагора:

\( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \)

\( a = \sqrt{625} = 25 \) см.

Площадь ромба \( S \) можно найти двумя способами:

1. Через диагонали: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 600 \) см².

2. Через сторону и высоту (радиус вписанной окружности \( r \) является половиной высоты \( h \) ромба, т.е. \( h = 2r \)): \( S = a \cdot h = a \cdot 2r \).

Приравниваем два выражения для площади:

\( 600 = 25 \cdot 2r \)

\( 600 = 50r \)

\( r = \frac{600}{50} = 12 \) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 12 см.