Question 16. (a) (i) $\mathbf m=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$. Find $3\mathbf m$. (ii) $\overrightarrow{VW}=\begin{pmatrix}10\\-24\end{pmatrix}$. Find $|\overrightarrow{VW}|$. (b) $OABC$ is a parallelogram. $\overrightarrow{OA}=\mathbf p$ and $\overrightarrow{OC}=\mathbf q$. $E$ is the point on $AB$ such that $AE:EB=3:1$. Find $\overrightarrow{OE}$ in terms of $\mathbf p$ and $\mathbf q$, in its simplest form.

Question

Вопрос: $Фото задания: Question 16. (a) (i) $\mathbf m=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$. Find $3\mathbf m$. (ii)…$ Фото задания

Question 16. (a) (i) $\mathbf m=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$. Find $3\mathbf m$. (ii) $\overrightarrow{VW}=\begin{pmatrix}10\\-24\end{pmatrix}$. Find $|\overrightarrow{VW}|$. (b) $OABC$ is a parallelogram. $\overrightarrow{OA}=\mathbf p$ and $\overrightarrow{OC}=\mathbf q$. $E$ is the point on $AB$ such that $AE:EB=3:1$. Find $\overrightarrow{OE}$ in terms of $\mathbf p$ and $\mathbf q$, in its simplest form.

Accepted Answer

Перевод задания: (а) (i) Дан вектор $\mathbf m=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$. Найдите $3\mathbf m$. (ii) Дан вектор $\overrightarrow{VW}=\begin{pmatrix}10\\-24\end{pmatrix}$. Найдите его длину $|\overrightarrow{VW}|$. (б) $OABC$ — параллелограмм. $\overrightarrow{OA}=\mathbf p$, а $\overrightarrow{OC}=\mathbf q$. Точка $E$ лежит на $AB$, причём $AE:EB=3:1$. Выразите $\overrightarrow{OE}$ через $\mathbf p$ и $\mathbf q$ в простейшем виде.

Solution in English

(a)(i) Multiply each component of $\mathbf m$ by 3:

\[3\mathbf m=3\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}.\]

(a)(ii) The magnitude of a vector $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ is $\sqrt{x^2+y^2}$:

\[|\overrightarrow{VW}|=\sqrt{10^2+(-24)^2}=\sqrt{676}=26.\]

(b) Opposite sides of a parallelogram are equal and parallel, so $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\mathbf q$. Since $AE:EB=3:1$, $\overrightarrow{AE}=\frac34\mathbf q$. Therefore:

\[\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q.\]

Answer: (a)(i) $\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}$; (a)(ii) $26$; (b) $\overrightarrow{OE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q$.

Перевод решения

(а)(i) Умножим каждую координату $\mathbf m$ на 3:

\[3\mathbf m=3\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}.\]

(а)(ii) Длина вектора $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ равна $\sqrt{x^2+y^2}$:

\[|\overrightarrow{VW}|=\sqrt{10^2+(-24)^2}=\sqrt{676}=26.\]

(б) В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\mathbf q$. Так как $AE:EB=3:1$, то $\overrightarrow{AE}=\frac34\mathbf q$. Следовательно:

\[\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q.\]

Ответ: (а)(i) $\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}$; (а)(ii) $26$; (б) $\overrightarrow{OE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q$.