Перевод задания: (а) (i) Дан вектор \(\mathbf m=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}\). Найдите \(3\mathbf m\). (ii) Дан вектор \(\overrightarrow{VW}=\begin{pmatrix}10\\-24\end{pmatrix}\). Найдите его длину \(|\overrightarrow{VW}|\). (б) \(OABC\) — параллелограмм. \(\overrightarrow{OA}=\mathbf p\), а \(\overrightarrow{OC}=\mathbf q\). Точка \(E\) лежит на \(AB\), причём \(AE:EB=3:1\). Выразите \(\overrightarrow{OE}\) через \(\mathbf p\) и \(\mathbf q\) в простейшем виде.

Solution in English

(a)(i) Multiply each component of \(\mathbf m\) by 3:

\[3\mathbf m=3\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}.\]

(a)(ii) The magnitude of a vector \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) is \(\sqrt{x^2+y^2}\):

\[|\overrightarrow{VW}|=\sqrt{10^2+(-24)^2}=\sqrt{676}=26.\]

(b) Opposite sides of a parallelogram are equal and parallel, so \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\mathbf q\). Since \(AE:EB=3:1\), \(\overrightarrow{AE}=\frac34\mathbf q\). Therefore:

\[\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q.\]

Answer: (a)(i) \(\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}\); (a)(ii) \(26\); (b) \(\overrightarrow{OE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q\).

Перевод решения

(а)(i) Умножим каждую координату \(\mathbf m\) на 3:

\[3\mathbf m=3\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}.\]

(а)(ii) Длина вектора \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) равна \(\sqrt{x^2+y^2}\):

\[|\overrightarrow{VW}|=\sqrt{10^2+(-24)^2}=\sqrt{676}=26.\]

(б) В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\mathbf q\). Так как \(AE:EB=3:1\), то \(\overrightarrow{AE}=\frac34\mathbf q\). Следовательно:

\[\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q.\]

Ответ: (а)(i) \(\begin{pmatrix}15\\21\end{pmatrix}\); (а)(ii) \(26\); (б) \(\overrightarrow{OE}=\mathbf p+\frac34\mathbf q\).

Поделись с друзьями