Пункт 20 1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если от- резок АС равен 10 м? 2. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ (рис. 57). Докажите, что каждая точка Х А этой прямой одинаково удалена от точек А и В.

1. Так как точка O является серединой отрезков AB и CD, то AO = OB и CO = OD. Кроме того, отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Если отрезок AC равен 10 м, то BD также равен 10 м, поскольку треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, BD = 10 м. 2. Пусть дана прямая, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину O. Рассмотрим произвольную точку X на этой прямой. Требуется доказать, что XA = XB. * Рассмотрим треугольники XOA и XOB. У них: * XO — общая сторона, * AO = OB (по условию, O — середина AB), * ∠XOA = ∠XOB = 90° (так как прямая XO перпендикулярна AB). * Следовательно, треугольники XOA и XOB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). * Из равенства треугольников следует, что XA = XB. Таким образом, любая точка X на прямой, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину, равноудалена от точек A и B, что и требовалось доказать.