665 Прямые a и b пересечены параллельными прямыми А₁А, В₁В, СС₁, причем точки А, В и С лежат на прямой a, а точки А₁ В₁ и С₁ — на прямой b. Докажите, что AB/BC = A₁B₁/B₁C₁.

Доказательство:

Рассмотрим углы, образованные параллельными прямыми А₁А, В₁В, СС₁ и прямыми a и b. Соответственные углы при параллельных прямых равны, следовательно, ∠А₁АВ = ∠В₁ВС и ∠АА₁В₁ = ∠ВВ₁С₁.

Рассмотрим треугольники АВ₁В и ВВС₁В₁.

• ∠А₁АВ = ∠В₁ВС (соответственные углы при параллельных прямых А₁А || В₁В и секущей а)
• ∠АА₁В₁ = ∠ВВ₁С₁ (соответственные углы при параллельных прямых А₁А || В₁В и секущей b)

Следовательно, треугольники АВ₁В и ВВС₁В₁ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

AB/BC = A₁B₁/B₁C₁

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что AB/BC = A₁B₁/B₁C₁.