3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что MK || AC, BM: AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

3. Дано: MK || AC, BM : AM = 1 : 4, P(ABC) = 25 см.

Найти: P(BMK).

Решение:

1. Так как MK || AC, то треугольники ABC и MBK подобны (по двум углам: ∠B - общий, ∠BMK = ∠BAC как соответственные при MK || AC).

2. Найдем коэффициент подобия:

Т.к. BM : AM = 1 : 4, то AM = 4 * BM, следовательно, AB = BM + AM = BM + 4 * BM = 5 * BM.

$$\frac{BM}{BA} = \frac{BM}{5BM} = \frac{1}{5}$$.

Коэффициент подобия k = 1/5.

3. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k = \frac{1}{5}$$.

$$\frac{P_{BMK}}{25} = \frac{1}{5}$$.

$$P_{BMK} = \frac{25}{5} = 5 \text{ см}$$.

Ответ: 5 см