Примеры линейных функций

Формула $$y = kx + b$$ при $$k = 0$$ принимает вид $$y = b$$. В этом случае графиком функции $$y = kx + b$$ является прямая, параллельная оси $$x$$ при $$b
eq 0$$ или сама ось $$x$$ при $$b = 0$$.

На рисунке 43 построен график функции $$y = 3$$.

Таким образом, графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример 3. Построим график функции $$y = 2x + 3$$.

Функция $$y = 2x + 3$$ линейная, поэтому её графиком является прямая. Используя формулу $$y = 2x + 3$$, найдём координаты двух точек графика:

если $$x = -2$$, то $$y = 2 \cdot (-2) + 3 = -1$$;

если $$x = 1$$, то $$y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$$.

Отметим точки $$A(-2; -1)$$ и $$B(1; 5)$$. Проведём через эти точки прямую (рис. 44).

Прямая $$AB$$ – график функции $$y = 2x + 3$$.

При построении графика линейной функции часто бывает удобно в качестве одной из точек брать точку с абсциссой 0.

Пример 4. Построим график функции $$y = -0{,}8x + 1$$.

Найдём координаты двух точек графика:

если $$x = 0$$, то $$y = -0{,}8 \cdot 0 + 1 = 1$$;

если $$x = 5$$, то $$y = -0{,}8 \cdot 5 + 1 = -3$$.

Отметим точки $$M(0; 1)$$ и $$K(5; -3)$$ и проведём через них прямую (рис. 45).

Прямая $$MK$$ – график функции $$y = -0{,}8x + 1$$.

Пример 5. Построим график функции $$y = -2$$. Любому значению $$x$$ соответствует значение $$y$$, равное $$-2$$. Отметим две какие-нибудь точки графика, например $$P(0; -2)$$ и $$N(4; -2)$$, и проведём через них прямую.

Прямая $$PN$$ – график линейной функции $$y = -2$$.

Расположение графика функции в координатной плоскости зависит от значений коэффициентов $$k$$ и $$b$$.

На рисунке 47 изображены графики нескольких линейных функций, заданных формулой $$y = kx + b$$ с одинаковыми коэффициентами при $$x$$. Графики всех этих прямые параллельны и наклонены к оси $$x$$ под одним и тем же углом. Этот угол зависит от коэффициента $$k$$.

Число $$k$$ называют угловым коэффициентом линейной функции $$y = kx + b$$. Если $$k > 0$$, то угол между прямой и осью $$x$$ острый; если $$k < 0$$, то этот угол тупой. Для каждого случая этот угол показан на рисунке 46.

Если угловые коэффициенты $$k$$ в формулах $$y = kx + b$$ для двух линейных функций различны, то их графики пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.