Пример 8 Найдите угол между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Ответ дайте в градусах.

Для нахождения угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ воспользуемся формулой:

$$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$, где $$\theta$$ — угол между векторами.

Из рисунка определим координаты векторов:

$$\vec{a} = (4; 12)$$

$$\vec{b} = (16; 8)$$

Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 4 \cdot 16 + 12 \cdot 8 = 64 + 96 = 160$$

Найдем модули векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$$,

$$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{16^2 + 8^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$$\cos{\theta} = \frac{160}{4\sqrt{10} \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{160}{32\sqrt{50}} = \frac{160}{32 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{160}{160\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

$$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 45^{\circ}$$

Ответ: $$45^{\circ}$$