6. При каком значении х значения выражений х-7, х+5 и 3х+1 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение: Чтобы выражения $$x-7$$, $$x+5$$ и $$3x+1$$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться следующее соотношение: $$\frac{x+5}{x-7} = \frac{3x+1}{x+5}$$ $$(x+5)^2 = (x-7)(3x+1)$$ $$x^2 + 10x + 25 = 3x^2 + x - 21x - 7$$ $$x^2 + 10x + 25 = 3x^2 - 20x - 7$$ $$0 = 2x^2 - 30x - 32$$ $$0 = x^2 - 15x - 16$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-15)^2 - 4 cdot 1 cdot (-16) = 225 + 64 = 289$$ $$x_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$x_2 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Рассмотрим случай $$x = 16$$: $$x - 7 = 16 - 7 = 9$$ $$x + 5 = 16 + 5 = 21$$ $$3x + 1 = 3 cdot 16 + 1 = 48 + 1 = 49$$ Проверим, является ли эта последовательность геометрической прогрессией: $$\frac{21}{9} = \frac{7}{3}$$ $$\frac{49}{21} = \frac{7}{3}$$ Так как отношения равны, то это геометрическая прогрессия. Рассмотрим случай $$x = -1$$: $$x - 7 = -1 - 7 = -8$$ $$x + 5 = -1 + 5 = 4$$ $$3x + 1 = 3 cdot (-1) + 1 = -3 + 1 = -2$$ Проверим, является ли эта последовательность геометрической прогрессией: $$\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$ $$\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Так как отношения равны, то это геометрическая прогрессия. Ответ: При $$x = 16$$ члены прогрессии: 9, 21, 49. При $$x = -1$$ члены прогрессии: -8, 4, -2.