При каких значениях параметра а уравнение x²-2x+a²-4a = 0 имеет ровно 2 различных решения.

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( x \). Оно имеет ровно 2 различных решения, когда его дискриминант \( D \) больше нуля.

Уравнение: \( x^2 - 2x + (a^2 - 4a) = 0 \)

Коэффициенты уравнения:

• \( A = 1 \)
• \( B = -2 \)
• \( C = a^2 - 4a \)

Дискриминант \( D \) находится по формуле \( D = B^2 - 4AC \):

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a) \]\[ D = 4 - 4a^2 + 16a \]\[ D = -4a^2 + 16a + 4 \]"

Для того чтобы уравнение имело ровно 2 различных решения, необходимо, чтобы \( D > 0 \).

\[ -4a^2 + 16a + 4 > 0 \]"

Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства:

\[ a^2 - 4a - 1 < 0 \]"

Найдем корни квадратного уравнения \( a^2 - 4a - 1 = 0 \):

\[ a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \]"

Таким образом, корни этого уравнения: \( a_1 = 2 - \sqrt{5} \) и \( a_2 = 2 + \sqrt{5} \).

Поскольку парабола \( y = a^2 - 4a - 1 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( a^2 - 4a - 1 < 0 \) выполняется при значениях \( a \) между корнями:

\[ 2 - \sqrt{5} < a < 2 + \sqrt{5} \]"

Ответ: \( a \in (2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}) \).