Решение

Квадратное уравнение не имеет решений, когда его дискриминант отрицателен. Найдем дискриминант данного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2a-1}{a+5} = 1 - \frac{8a-4}{a+5} = \frac{a+5 - (8a-4)}{a+5} = \frac{a+5-8a+4}{a+5} = \frac{-7a+9}{a+5}$$

Уравнение не имеет решений, когда $$D < 0$$, то есть:

$$\frac{-7a+9}{a+5} < 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• $$-7a+9 = 0 \Rightarrow a = \frac{9}{7}$$
• $$a+5 = 0 \Rightarrow a = -5$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

Интервалы: $$(-\infty; -5)$$, $$(-5; \frac{9}{7})$$, $$(\frac{9}{7}; +\infty)$$

• $$a < -5$$, например $$a = -6$$: $$\frac{-7(-6)+9}{-6+5} = \frac{42+9}{-1} = \frac{51}{-1} = -51 < 0$$
• $$-5 < a < \frac{9}{7}$$, например $$a = 0$$: $$\frac{-7(0)+9}{0+5} = \frac{9}{5} > 0$$
• $$a > \frac{9}{7}$$, например $$a = 2$$: $$\frac{-7(2)+9}{2+5} = \frac{-14+9}{7} = \frac{-5}{7} < 0$$

Таким образом, неравенство выполняется при $$a < -5$$ и $$a > \frac{9}{7}$$.

Так как нужно наибольшее отрицательное целое число, которое меньше -5, то это число -6.

Ответ: -6