При каких значениях p прямая y = p имеет две общие точки с графиком функции y = f(x), где f(x) =

Решение: Рассмотрим функцию, заданную кусочно: $$f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x < -1 \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } -1 \le x < 2 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$$ 1. Рассмотрим первый участок функции: $$y = x + 6$$ при $$x < -1$$. При $$x = -1$$ значение функции $$y = -1 + 6 = 5$$. Так как $$x < -1$$, то прямая $$y = p$$ должна пересекать этот участок при $$p < 5$$. 2. Рассмотрим второй участок функции: $$y = x^2 - 2x + 2$$ при $$-1 \le x < 2$$. Это парабола. Найдем вершину параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$. Значение функции в вершине: $$y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$$. При $$x = -1$$ значение функции $$y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$$. При $$x = 2$$ значение функции не определено, но предел при $$x \to 2$$ равен $$y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$$. Таким образом, на этом участке функция принимает значения от 1 (включительно) до 5 (включительно) и от 1 (включительно) до 2 (не включительно). 3. Рассмотрим третий участок функции: $$y = \frac{4}{x}$$ при $$x \ge 2$$. При $$x = 2$$ значение функции $$y = \frac{4}{2} = 2$$. При увеличении $$x$$ функция убывает и стремится к 0. Таким образом, на этом участке функция принимает значения от 0 (не включительно) до 2 (включительно). Для того чтобы прямая $$y = p$$ имела две общие точки с графиком, необходимо, чтобы она пересекала два участка функции. * Если $$p = 2$$, то прямая пересекает второй и третий участки. * Если $$1 \le p < 2$$, то прямая пересекает только второй участок. * Если $$p = 1$$, то прямая пересекает второй участок в вершине. * Если $$p < 0$$, то прямая не пересекает график. * Если $$0 < p < 1$$, то прямая пересекает только третий участок. * Если $$2 < p < 5$$, то прямая пересекает первый и второй участки. Таким образом, прямая $$y = p$$ имеет две общие точки с графиком при $$1 \lt p \le 2$$ и при $$2 \lt p \lt 5$$. Ответ: $$p \in (1; 2] \cup (2; 5)$$