При каких значениях а сумма дробей \(\frac{a^2 + 11}{a^2 - a - 2}\) и \(\frac{a - 3}{a + 1}\) равна ?

Решение:

1. Обозначим условие:
2. Сумма двух дробей должна быть равна некоторому значению, которое не указано в условии задачи. Предположим, что сумма равна 0, так как это наиболее распространенный случай для таких заданий. Если требуется другое значение, замените 0 на нужное число.
3. \[ \frac{a^2 + 11}{a^2 - a - 2} + \frac{a - 3}{a + 1} = 0 \]
4. Приведем дроби к общему знаменателю.
5. Разложим знаменатель первой дроби на множители:
6. \[ a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) \]
7. Общий знаменатель: (a - 2)(a + 1).
8. Приведем вторую дробь к общему знаменателю:
9. \[ \frac{a - 3}{a + 1} = \frac{(a - 3)(a - 2)}{(a + 1)(a - 2)} = \frac{a^2 - 2a - 3a + 6}{(a - 2)(a + 1)} = \frac{a^2 - 5a + 6}{(a - 2)(a + 1)} \]
10. Теперь уравнение выглядит так:
11. \[ \frac{a^2 + 11}{(a - 2)(a + 1)} + \frac{a^2 - 5a + 6}{(a - 2)(a + 1)} = 0 \]
12. Сложим числители:
13. \[ \frac{(a^2 + 11) + (a^2 - 5a + 6)}{(a - 2)(a + 1)} = 0 \]
14. \[ \frac{2a^2 - 5a + 17}{(a - 2)(a + 1)} = 0 \]
15. Найдем значения 'a', при которых числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
16. Числитель:
17. \[ 2a^2 - 5a + 17 = 0 \]
18. Найдем дискриминант:
19. \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 17 = 25 - 136 = -111 \]
20. Так как дискриминант отрицательный (D < 0), квадратное уравнение 2a² - 5a + 17 = 0 не имеет действительных корней.
21. Знаменатель:
22. \[ (a - 2)(a + 1) ≠ 0 \]
23. \[ a ≠ 2 \] и \[ a ≠ -1 \]
24. Поскольку действительных корней для числителя не найдено, то и значение 'a', при котором сумма дробей равна 0, отсутствует.

Ответ: Действительных значений 'a', при которых сумма дробей равна 0, не существует.