Решение задания 2

Подпункт а)

Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)}{x^2 - y^2} = \frac{4xy}{x^2 - y^2} $$

Теперь выполним деление:

$$ \frac{4xy}{x^2 - y^2} : \frac{xy}{x^2 - y^2} = \frac{4xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{xy} = 4 $$

Ответ: 4

Подпункт б)

Преобразуем выражение в скобках, учитывая, что $$25 - a^2 = -(a^2 - 25) = -(a - 5)(a + 5)$$:

$$ \frac{a}{a-5} - \frac{a}{a+5} - \frac{a+25}{25-a^2} = \frac{a}{a-5} - \frac{a}{a+5} + \frac{a+25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a+5) - a(a-5) + a + 25}{(a-5)(a+5)} $$ $$ = \frac{a^2 + 5a - a^2 + 5a + a + 25}{(a-5)(a+5)} = \frac{11a + 25}{(a-5)(a+5)} $$

Теперь выполним умножение:

$$ \frac{11a + 25}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{a-5}{a^2 + 10a + 25} = \frac{11a + 25}{(a+5)(a+5)} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{11a + 25}{(a+5)^2} $$

Упростить это выражение не представляется возможным. Проверим условие.

$$ \frac{11a + 25}{(a+5)(a+5)} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{11a + 25}{(a+5)^3} $$

Ответ: $$\frac{11a + 25}{(a+5)^3}$$