Решение:

1. Представьте в виде дроби:

a) $$rac{14p^4}{q^6} \cdot \frac{q^5}{56p^4} = \frac{14p^4q^5}{56p^4q^6} = \frac{1}{4q}$$.

б) $$\frac{45a^3b}{c^2} \cdot \frac{c^2}{30a^4b} = \frac{45a^3bc^2}{30a^4bc^2} = \frac{3}{2a}$$.

в) $$\frac{3a-9}{a+2} : \frac{a^2-9}{a^2-4} = \frac{3(a-3)}{a+2} : \frac{(a-3)(a+3)}{(a-2)(a+2)} = \frac{3(a-3)}{a+2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} = \frac{3(a-2)}{a+3}$$.

г) $$\frac{3x+y}{y} : (x - \frac{3y}{3x+y}) = \frac{3x+y}{y} : (\frac{x(3x+y)-3y}{3x+y}) = \frac{3x+y}{y} : (\frac{3x^2+xy-3y}{3x+y}) = \frac{(3x+y)^2}{y(3x^2+xy-3y)}$$.

2. Постройте график функции $$y = \frac{4}{x}$$. Какова область определения функции? При каких значениях $$x$$ функция принимает отрицательные значения?

Область определения функции: $$x
eq 0$$.

Функция принимает отрицательные значения при $$x < 0$$.

3. Докажите, что при всех значениях $$a
eq \pm 5$$ значение выражения $$(\frac{3}{25-a^2} + \frac{1}{a^2-10a+25}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5})$$ не зависит от $$a$$.

$$(\frac{3}{25-a^2} + \frac{1}{a^2-10a+25}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5}) = (\frac{3}{(5-a)(5+a)} + \frac{1}{(a-5)^2}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5})$$.

$$= (\frac{-3}{(a-5)(a+5)} + \frac{1}{(a-5)^2}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5}) = (\frac{-3(a-5) + (a+5)}{(a-5)^2(a+5)}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5}) = (\frac{-3a+15+a+5}{(a-5)^2(a+5)}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5})$$.

$$= (\frac{-2a+20}{(a-5)^2(a+5)}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5}) = (\frac{-2(a-10)}{(a-5)^2(a+5)}) \cdot (\frac{(5-a)^2}{2} + \frac{3a}{a+5}) = (\frac{-2(a-10)}{(a-5)^2(a+5)}) \cdot (\frac{(a-5)^2}{2} + \frac{3a}{a+5}) = \frac{-2(a-10)(a-5)^2}{2(a-5)^2(a+5)} + \frac{-6a(a-10)}{(a-5)^2(a+5)^2} = \frac{-(a-10)}{(a+5)} + \frac{-6a(a-10)}{(a-5)^2(a+5)^2} $$

$$=(\frac{-(a-10)(a-5)^2(a+5) + (-6a(a-10))}{(a+5)(a-5)^2(a+5)^2}) = (\frac{-(a-10)((a-5)^2(a+5) + 6a)}{(a+5)(a-5)^2(a+5)^2}) = (\frac{-(a-10)(a^3-5a^2-25a+125+ 6a)}{(a+5)(a-5)^2(a+5)^2}) = (\frac{-(a-10)(a^3-5a^2-19a+125)}{(a+5)(a-5)^2(a+5)^2}) = (\frac{-(a-10)(a^3-5a^2-19a+125)}{(a+5)(a-5)^2(a+5)^2}) $$.

$$=(a-10)(\frac{-2(a-5)^2}{2(a-5)(a+5)} + \frac{3a}{a+5}) = (a-10)(\frac{-(a-5)}{a+5} + \frac{3a}{a+5}) = (a-10)(\frac{-a+5+3a}{a+5}) = (a-10)(\frac{2a+5}{a+5}) $$.

Таким образом, значение выражения зависит от a.

4. При каких значениях $$y$$ имеет смысл выражение $$2-\frac{5y}{6+2y}$$?

Выражение имеет смысл, если $$6+2y
eq 0$$, т.е. $$y
eq -3$$.

Ответ: a) $$\frac{1}{4q}$$; б) $$\frac{3}{2a}$$; в) $$\frac{3(a-2)}{a+3}$$; г) $$\frac{(3x+y)^2}{y(3x^2+xy-3y)}$$; Область определения функции: $$x
eq 0$$, Функция принимает отрицательные значения при $$x < 0$$; значение выражения зависит от a; $$y
eq -3$$.