Постройте график функции $$y = |x|x - |x| - 3x.$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = |x|x - |x| - 3x$$.

Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 - x - 3x = x^2 - 4x$$

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид:

$$y = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$$

Итак, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$$

Найдем вершину параболы $$y = x^2 - 4x$$ при $$x \ge 0$$.

$$x_в = -\frac{-4}{2} = 2$$. $$y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$$.

Найдем вершину параболы $$y = -x^2 - 2x$$ при $$x < 0$$.

$$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$$. $$y(-1) = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1$$.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$m = -4$$ и $$m = 1$$.

Ответ: $$m = -4; 1$$