Постройте график функции y= |x|(x + 1) – 6x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию \(y = |x|(x + 1) - 6x\). 1. Если \(x \ge 0\), то \(|x| = x\), и функция принимает вид: \[ y = x(x + 1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x \] 2. Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция принимает вид: \[ y = -x(x + 1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x \] Таким образом, имеем кусочную функцию: \[ y = \begin{cases} x^2 - 5x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 7x, & x < 0 \end{cases} \] Теперь построим график этой функции. Для этого найдем ключевые точки для каждой части функции. Для \(x \ge 0\): \(y = x^2 - 5x\) Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{5}{2} = 2.5 \] \[ y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25 \] Корни параболы: \(x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0\), следовательно, \(x = 0\) и \(x = 5\). Для \(x < 0\): \(y = -x^2 - 7x\) Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-7}{-2} = -3.5 \] \[ y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25 \] Корни параболы: \(-x^2 - 7x = 0 \Rightarrow -x(x + 7) = 0\), следовательно, \(x = 0\) и \(x = -7\). Теперь проанализируем, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. Это происходит, когда прямая проходит через вершину одной из парабол или через точку соединения двух частей графика (x = 0). 1. Прямая проходит через вершину параболы для \(x \ge 0\): \(y = -6.25\) 2. Прямая проходит через вершину параболы для \(x < 0\): \(y = 12.25\) 3. Прямая проходит через точку соединения двух частей графика (x = 0): \(y = 0\) Таким образом, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком при m = -6.25, m = 0, m = 12.25.

Ответ: -6.25, 0, 12.25