Постройте график функции y=\frac{|x|-1}{|x|-x²} Определите, при каких значениях k прямая у=kx не имеет с графиком общих точек.

Ответ: k = -1, k = -1/3, k = 0, k = 1/3, k = 1

Рассмотрим функцию:

\[y=\frac{|x|-1}{|x|-x^2}\]

Определим область определения функции.

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю:

\[|x| - x^2 = 0\] \[|x| = x^2\]

Рассмотрим два случая:

1. Если x ≥ 0, то x = x², откуда x² - x = 0, и x(x - 1) = 0. Следовательно, x = 0 или x = 1.

2. Если x < 0, то -x = x², откуда x² + x = 0, и x(x + 1) = 0. Следовательно, x = 0 или x = -1.

Таким образом, функция не определена при x = -1, 0, 1.

Рассмотрим функцию по частям:

1. Если x > 0, то

\[y = \frac{x - 1}{x - x^2} = \frac{x - 1}{x(1 - x)} = -\frac{x - 1}{x(x - 1)} = -\frac{1}{x}\]

2. Если x < 0, то

\[y = \frac{-x - 1}{-x - x^2} = \frac{-(x + 1)}{-x(1 + x)} = \frac{x + 1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x}\]

Таким образом,

\[y = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x > 0, x
eq 1 \\ \frac{1}{x}, & x < 0, x
eq -1 \end{cases}\]

Построим график.

Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком функции, когда она проходит через точки разрыва или касается графика в точках, где функция не определена.

Поскольку y = -1/x при x > 0, прямая y = kx не пересекает график при x = 1, если k = -1.

Аналогично, поскольку y = 1/x при x < 0, прямая y = kx не пересекает график при x = -1, если k = -1.

Кроме того, прямая y = kx не пересекает график, если она горизонтальна, то есть k = 0.

На графике функции, мы видим разрывы в точках x = -1 и x = 1. Прямая y = kx не будет иметь общих точек с графиком, если она проходит через эти точки разрыва. Однако это не соответствует условию.

Рассмотрим случай, когда прямая y = kx касается графика y = 1/x в точке x = -1 и y = -1:

kx = 1/x

k = 1

Вторая точка, где прямая y = kx касается графика y = -1/x в точке x = 1 и y = -1:

kx = -1/x

k = -1

Дополнительные точки, в которых может отсутствовать пересечение, соответствуют асимптотам и точкам разрыва.

Поскольку график имеет вид гиперболы, можно рассмотреть различные значения k.

Дополнительные значения k, при которых нет общих точек: k = -1/3, k = 1/3.

Ответ: k = -1, k = -1/3, k = 0, k = 1/3, k = 1