Постройте график функции y = |x² - 6x + 7| и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Построение графика y = x² - 6x + 7:

1. Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину: \( x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \). \( y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \). Вершина в точке (3, -2).
2. Найдем точки пересечения с осью x (y=0): \( x^2 - 6x + 7 = 0 \). \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 \). \( x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2} \).
3. Найдем точку пересечения с осью y (x=0): \( y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 7 = 7 \). Точка (0, 7).

Преобразование графика y = |x² - 6x + 7|:

1. Часть графика, где \( x^2 - 6x + 7 \ge 0 \) (то есть \( x ≤ 3 - \sqrt{2} \) или \( x ≥ 3 + \sqrt{2} \)), остается без изменений.
2. Часть графика, где \( x^2 - 6x + 7 < 0 \) (то есть \( 3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2} \)), отражается симметрично относительно оси x. Минимальное значение -2 становится максимальным значением 2.

Определение значений m:

Прямая y = m является горизонтальной линией. Чтобы эта прямая имела ровно три общие точки с графиком функции y = |x² - 6x + 7|, она должна проходить через:

1. Вершину параболы, которая была отражена вверх. Это точка, где \( x^2 - 6x + 7 = 0 \) и ее значение стало \( y = 0 \). Но это даст две точки.
2. Точки, где график функции y = |x² - 6x + 7| имеет локальные максимумы, которые образовались при отражении. Это вершина параболы \( y = x^2 - 6x + 7 \), которая была в точке (3, -2). После отражения она станет точкой (3, 2).
3. Точки пересечения с осью x.

Рассмотрим следующие случаи:

• Если \( m = 0 \), то прямая y = 0 совпадает с осью x. Она будет пересекать график в двух точках (где \( x^2 - 6x + 7 = 0 \)).
• Если \( m = 2 \) (значение y вершины после отражения), то прямая y = 2 будет пересекать график в трех точках: одна точка будет в вершине измененного участка, а две другие — на