Постройте график функции \( y = \begin{cases} \frac{x^2 + 4x + 4}{x} & \text{при } x \ge -4, \\ -\frac{16}{x} & \text{при } x < -4. \end{cases} \)

Решение:

Рассмотрим каждую ветвь функции отдельно.

Первая ветвь: \( y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} \) при \( x \ge -4 \)

Упростим выражение: \( y = \frac{(x+2)^2}{x} = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = x + 4 + \frac{4}{x} \).

Эта функция является гиперболой, смещенной и трансформированной. Для построения найдем несколько точек в области \( x \ge -4 \), учитывая, что \( x \neq 0 \).

• При \( x = -4 \): \( y = -4 + 4 + \frac{4}{-4} = -1 \). Точка \( (-4; -1) \).
• При \( x = -2 \): \( y = -2 + 4 + \frac{4}{-2} = 2 - 2 = 0 \). Точка \( (-2; 0) \).
• При \( x = -1 \): \( y = -1 + 4 + \frac{4}{-1} = 3 - 4 = -1 \). Точка \( (-1; -1) \).
• При \( x = 1 \): \( y = 1 + 4 + \frac{4}{1} = 9 \). Точка \( (1; 9) \).
• При \( x = 2 \): \( y = 2 + 4 + \frac{4}{2} = 6 + 2 = 8 \). Точка \( (2; 8) \).
• При \( x = 4 \): \( y = 4 + 4 + \frac{4}{4} = 8 + 1 = 9 \). Точка \( (4; 9) \).

Также учтем, что \( x \) не может быть равен 0. При \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \). При \( x \to 0^- \), \( y \to -\infty \).

Вторая ветвь: \( y = -\frac{16}{x} \) при \( x < -4 \)

Это гипербола \( y = -\frac{16}{x} \) для \( x \in (-\infty; -4) \).

• При \( x = -5 \): \( y = -\frac{16}{-5} = 3.2 \). Точка \( (-5; 3.2) \).
• При \( x = -8 \): \( y = -\frac{16}{-8} = 2 \). Точка \( (-8; 2) \).
• При \( x = -16 \): \( y = -\frac{16}{-16} = 1 \). Точка \( (-16; 1) \).

Обратите внимание, что при \( x = -4 \) первая ветвь имеет значение \( y = -1 \). Вторая ветвь приближается к \( y = -\frac{16}{-4} = 4 \) при \( x \to -4^- \).

Ответ: график функции состоит из двух частей: части гиперболы \( y = x + 4 + \frac{4}{x} \) для \( x \ge -4, x \neq 0 \) и части гиперболы \( y = -\frac{16}{x} \) для \( x < -4 \).