Постройте график функции y = -2(x-1)² + 3 и опишите ее свойства.

Данная функция представляет собой квадратичную функцию вида $$y = a(x - m)^2 + n$$, где $$a = -2$$, $$m = 1$$, и $$n = 3$$. Графиком этой функции является парабола.

Определим основные характеристики параболы:

• Направление ветвей: Так как $$a = -2 < 0$$, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы: Вершина находится в точке $$(m, n) = (1, 3)$$.
• Ось симметрии: Прямая, проходящая через вершину, т.е. $$x = 1$$.
• Пересечение с осью y: Чтобы найти точку пересечения с осью $$y$$, подставим $$x = 0$$ в уравнение: $$y = -2(0 - 1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$$. Таким образом, точка пересечения с осью $$y$$ есть $$(0, 1)$$.
• Пересечение с осью x: Чтобы найти точки пересечения с осью $$x$$, решим уравнение $$-2(x - 1)^2 + 3 = 0$$: $$(x - 1)^2 = rac{3}{2}$$ $$x - 1 = pm sqrt{rac{3}{2}}$$ $$x = 1 pm sqrt{rac{3}{2}}$$ Таким образом, точки пересечения с осью $$x$$ приблизительно равны $$x_1 approx 1 - 1.22 = -0.22$$ и $$x_2 approx 1 + 1.22 = 2.22$$.

Теперь построим график функции:

Свойства функции:

• Область определения: Все действительные числа, т.е. $$(-infty, +infty)$$.
• Область значений: $$(-infty, 3]$$. Максимальное значение функции равно 3 и достигается в вершине параболы.
• Функция возрастает на интервале $$(-infty, 1)$$ и убывает на интервале $$(1, +infty)$$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.