22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} -3x - 2, & \text{если } x < -1, \\ 4x + 5, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\ -x + 10, & \text{если } x > 1. \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Для решения этой задачи необходимо построить график заданной кусочно-линейной функции и проанализировать, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ пересекает график функции ровно в одной точке.

1. Построим график функции.

Для построения графика каждой части функции найдем значения в граничных точках:

1. $$y = -3x - 2$$ при $$x < -1$$. При $$x = -1$$: $$y = -3(-1) - 2 = 3 - 2 = 1$$. График - луч, идущий влево от точки $$(-1; 1)$$.
2. $$y = 4x + 5$$ при $$-1 \leq x \leq 1$$. При $$x = -1$$: $$y = 4(-1) + 5 = -4 + 5 = 1$$. При $$x = 1$$: $$y = 4(1) + 5 = 4 + 5 = 9$$. График - отрезок, соединяющий точки $$(-1; 1)$$ и $$(1; 9)$$.
3. $$y = -x + 10$$ при $$x > 1$$. При $$x = 1$$: $$y = -1 + 10 = 9$$. График - луч, идущий вправо от точки $$(1; 9)$$.

Таким образом, функция непрерывна в точке $$x = -1$$, но не является непрерывной в точке $$x = 1$$.

Теперь проанализируем, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет ровно одну общую точку с графиком.

• Если $$m < 1$$, то прямая пересекает график функции $$y = -3x - 2$$.
• Если $$m = 1$$, то прямая проходит через точку $$(-1; 1)$$, и не пересекает никакую другую часть графика. То есть только одна точка пересечения.
• Если $$1 < m < 9$$, то прямая пересекает график функции $$y = 4x + 5$$ в точке.
• Если $$m = 9$$, то прямая проходит через точку $$(1; 9)$$, и не пересекает никакую другую часть графика. То есть только одна точка пересечения.
• Если $$m > 9$$, то прямая пересекает график функции $$y = -x + 10$$ в точке.

Ответ: $$m = 1$$ или $$m = 9$$