3. Постройте график функции у = -x²-4х+5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Решение:

1. Построим график функции y = -x² - 4x + 5: Это парабола, ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x² отрицательный).

• Найдём вершину параболы:
x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2*(-1)) = -2 y_в = -(-2)² - 4*(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 Вершина параболы: (-2, 9)
• Найдём нули функции (точки пересечения с осью x):
-x² - 4x + 5 = 0 x² + 4x - 5 = 0 D = 4² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36 x_1 = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 1 x_2 = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -5 Нули функции: x = 1 и x = -5

2. С помощью графика найдём:

• а) Область определения: x ∈ (-∞, +∞)
• Область значения: y ∈ (-∞, 9]
• б) Нули функции: x = -5 и x = 1
• в) Промежутки знакопостоянства:
  • y > 0 при x ∈ (-5, 1)
  • y < 0 при x ∈ (-∞, -5) ∪ (1, +∞)
• г) Промежутки возрастания и убывания:
  • Функция возрастает при x ∈ (-∞, -2)
  • Функция убывает при x ∈ (-2, +∞)
• д) Наибольшее значение функции: y = 9 (в вершине параболы)
Наименьшего значения нет (функция убывает до -∞)