22. Постройте график функции у = 5 + 24-3x2 и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. 3х-x2

Преобразуем функцию:

\[ y = 5 + \frac{24 - 3x^2}{3x - x^2} \]

\[ y = 5 + \frac{3(8 - x^2)}{x(3 - x)} \]

\[ y = 5 + \frac{3(2\sqrt{2} - x)(2\sqrt{2} + x)}{x(3 - x)} \]

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x(3 - x)
eq 0 \]

\[ x
eq 0 \] и \[ x
eq 3 \]

Область определения: все числа, кроме 0 и 3.

Исследуем функцию на экстремумы:

\[ y' = \frac{-6x(3x-x^2)-(24-3x^2)(3-2x)}{(3x-x^2)^2} \]

\[ y' = \frac{-18x^2+6x^3-72+48x+9x^2-6x^3}{(3x-x^2)^2} \]

\[ y' = \frac{-9x^2+48x-72}{(3x-x^2)^2} \]

\[ y' = \frac{-9(x^2-\frac{16}{3}x+8)}{(3x-x^2)^2} \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -9x^2+48x-72 = 0 \]

\[ 3x^2-16x+24 = 0 \]

\[ D = (-16)^2-4 \cdot 3 \cdot 24 = 256 - 288 = -32 \]

Так как дискриминант отрицательный, производная не имеет нулей, а значит, функция не имеет экстремумов.

Найдем вертикальные асимптоты. Это точки, в которых функция не определена: x = 0 и x = 3.

Найдем горизонтальные асимптоты:

\[ \lim_{x \to \infty} (5 + \frac{24 - 3x^2}{3x - x^2}) = 5 + \lim_{x \to \infty} (\frac{24/x^2 - 3}{3/x - 1}) = 5 + 3 = 8 \]

Горизонтальная асимптота: y = 8.

Определим поведение функции вблизи вертикальных асимптот:

При x → 0 слева, y → -∞

При x → 0 справа, y → +∞

При x → 3 слева, y → -∞

При x → 3 справа, y → +∞

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда она является горизонтальной асимптотой (y = 8) или когда она касается графика в точке экстремума (y = 5).